### Not a Knot I

This post belongs to LoPSE popularization (#pop) series written both in English and in Polish.

ENGLISH VERSION [POLISH VERSION BELOW]

On June 28, 2019 in our seminar we connected with Paula Teijeiro to discuss her recent draft, Not a Knot. Before we get to the actual content of the paper, some background is needed. It will be provided in this post, and a discussion of Paula's own contribution will follow in another post.

Most logicians don't think they merely play syntactic games when they do logic. They claim that the enterprise is meaningful and goes beyond pure manipulation of sequences of symbols. Yet, it turns out to be quite hard to say what exactly this meaning is. Let's take a seemingly simple example of the meaning of a logical connective, such as and. It will turn out that all methods of adding a meaningful connective to a formal language seem appears a bit problematic.

It seems that there are two ways of introducing a new connective to a formal language. The first one, semantical, proceeds by saying when a formula built from this connective is true and when it is false (that is, by specifying the truth-conditions of this formula). For instance, P and Q is true just in case both P, and Q are true, and false otherwise.

One philosophical concern about the semantical way of proceeding is that while it might work in such a simple context, it is hard to see how this casts light on how we introduce meaningful expressions to languages in general. For a semantical specification has been provided in a language that we already understand, and the question arises as to how we learned the part of the language that was used in the explanation. In reaction, a more inferentialist stance suggests that expressions in a language are meaningful because of how they interact with other expressions in that language. From this perspective, instead of thinking that there is some fundamental semantical level of explanation, all we can do is to provide an account of rules that govern which expressions can be inferred from which ones: to introduce new expressions syntactically.

So the second, syntactic, way of introducing a connective, seems to achieve its goal by saying when one can infer a sentence composed using this connective and what can be inferred from it. For instance, if one knows P and Q separately, one can infer P and Q. If one knows the conjunction, A and B, one can infer any of the conjuncts.

Now, interestingly, in 1960, A. N. Prior defined a connective called Tonk that does not have a truth-functional semantical characterization. Instead, we can provide its syntactical characterization by two inference rules:
• Tonk introduction: from formula P, infer P Tonk Q, for any formula Q.
• Tonk elimination: from P Tonk Q, infer Q.
If we add Tonk to the classical propositional logic, we obtain an inconsistent system. First, start with a logical tautology T. From this, by Tonk introduction we get T Tonk CT, where CT is a logical contradiction. Next, by Tonk elimination, we have CT. The argument generalizes to many well-known logical systems.

What lesson we learn from this is a bit tricky, but at least it seems that saying that any introduction and elimination rules can be used to introduce meaningful expressions is too hasty. If we want to stick to the inferentialist approach, we have to be more picky about the conditions under which a meaningful expression is introduced.

One thing you could say is that a connective is meaningful if one can supplement inference rules with adequate truth-conditions, as it is possible in the case of conjunction. According to this proposal, Tonk is not meaningful, because one cannot provide truth-tables for it. This solution is of limited applicability: after all, not all expressions that we'd like to introduce have to be extensional connectives. What about modal operators, such as it is possible that? Moreover, there are mathematical theories, such as set theory, whose primitive terms have not been given semantics in terms of conceptual apparatus independent of those theories, they seem to  introduce  their key notions axiomatically.

The second proposal is a bit more complicated. First, let us start with the notion of a conservative expansion. Imagine that we are working in a logic L. We extend its language with a new connective, and we obtain a new logic L*. We say that L* is a conservative extension of L just in case any valid inference in L* formulated still in the old language (without the additional connective) is also valid in L. The informal reading is quite straightforward: conservative extensions do not change the inferential relations within the old language. Quite crucially, the extension of a consistent logic by conservative expansions remains consistent. So perhaps, we should require that a syntactic introduction of a new symbol should result in a conservative expansion?

Recently, Button pointed out that one can run a Tonk-like argument to argue that semantical characterization is at least as problematic. He provided a truth table for a made-up connective called Knot and pointed out that the newly introduced functor in his setting results in the loss of some vital properties  (for instance, logically equivalent sentences can no longer be substituted for each other in correct inferences). Button also claims that Knot does not have a syntactic characterization. Quite crucially, the problem with Knot is a bit different from the one with Tonk. The notion of a conservative extension won't come to the rescue: if we provide a truth table for a connective, the extension is always conservative.

This is where we take off, to continue with a discussion of Paula's own work in another post.

POLISH VERSION

Paula Teijeiro wirtualnie gościła na seminarium LOPsE podczas naszego spotkania 28 czerwca 2019 roku, w celu omówienia draftu jej artykułu Not a knot. Analiza szczegółów wymaga dość obszernego wprowadzenia, dlatego też wpis podzielimy na dwie części. W pierwszej części przedstawione zostaną szczegóły niezbędne do zrozumienia artykułu naszego Gościa, w drugiej natomiast omówimy artykuł Pauli.

Problem, jaki poruszany jest w artykule, dotyczy sensu logiki. Większość logików chce wierzyć, że to czym się zajmują, nie jest zwykłą syntaktyczną grą w przekształcanie znaczków. Twierdzą zazwyczaj, że logika mówi nam coś o znaczeniu pewnych wyrażeń i nie sprowadza się jedynie do czystej manipulacji symbolami. Tymczasem trudno powiedzieć, czym właściwie to znaczenie jest. Rozważmy prosty przykład funktora logicznego oraz. Okaże się, że każdy sposób dodania funktora posiadającego znaczenie do języka formalnego jest nieco problematyczny.

Wstępnie, możemy wyróżnić dwie metody dodawania nowego funktora do języka formalnego. Pierwsza, semantyczna, polega na tym, że określamy, kiedy formuła zbudowana za pomocą takiego funktora jest prawdziwa, a kiedy fałszywa (podajemy warunki prawdziwości dla tej formuły). Przykładowo, P oraz Q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy  prawdziwe jest zarówno P jak i Q, a fałszywe w każdym innym wypadku.

Jednym z filozoficznych wyzwań, stojących przed tym sposobem dodawania wyrażeń, jest jego ograniczona funkcjonalność. Co prawda, ten sposób wydaje się działać w prostym kontekście formalnym, jednak nie tłumaczy jak w ogólności wprowadzamy wyrażenia posiadające znaczenie do języków naturalnych. Gdy podamy semantyczne warunki dla nowego wyrażenia w języku, który już rozumiemy, narzuca się pytanie, w jaki sposób nauczyliśmy się i rozumiemy tę część języka, której użyliśmy w wyjaśnieniu. Jedną z odpowiedzi na ten ruch jest powiedzenie, że znaczenie wyrażeń wyrasta z tego, w jaki sposób wchodzą one w relacje z innymi wyrażeniami tego języka. Z tej perspektywy, jedyne co możemy zrobić, to podać i uargumentować zasady mówiące, które wyrażenia da się syntaktycznie wyprowadzić z których.

Zatem drugi, syntaktyczny, sposób dodawania funktora do języka, polega na podaniu zasad mówiących, kiedy można wyprowadzić zdanie zbudowane za pomocą tego funktora z innych zdań, oraz określających, kiedy zdanie zbudowane za pomocą tego funktora może być wyprowadzone z innych. Przykładowo, jeżeli ktoś wie osobno P oraz wie osobno Q, to może wyprowadzić zdanie P oraz Q. Jeżeli natomiast ktoś wie, że P oraz Q, to może wyprowadzić zarówno P, jak i Q

Sprawa wydaje się prosta. Jednakże, w 1960 roku A. N. Prior zdefiniował funktor Tonk, który nie ma charakteryzacji semantycznej, a którego wprowadzenie syntaktycznie prowadzi do problemów. Jedyne co możemy podać, to syntaktyczne zasady używania tego spójnika:
• Tonk wprowadzanie: z formuły P wyprowadź P Tonk Q, dla dowolnej formuły Q.
• Tonk opuszczanie: z P Tonk Q, wyprowadź Q.
Jeżeli dodamy Tonk do klasycznego języka zdaniowego, dostaniemy system sprzeczny. Weźmy jakąś tautologię logiczną T: za pomocą zasady Tonk wprowadzanie dostajemy T Tonk CT, gdzie CT to logiczna sprzeczność. Następnie, z zasady Tonk opuszczanie, dostajemy CT. Ten argument uogólnia się do wielu znanych systemów logicznych.

Ciężko jednoznacznie powiedzieć, jaki morał płynie z powyższych rozważań. Zdaje się, że przedstawiony przykład pokazuje, że samo podanie syntaktycznych zasad nie nadaje funktorowi znaczenia. Jednakże, jeżeli uważamy, że syntaktyczny sposób dodawania funktora nie jest zupełnie nieskuteczny, to musimy do niego dodać warunki, które zapewnią, że będzie on poprawnie wprowadzał wyrażenie.

Jeden z takich warunków dostaniemy, jeżeli uznamy, że spójnik posiada znaczenie wtedy, gdy jego zasady syntaktyczne można uzupełnić przez podanie warunków prawdziwości, tak jak to można zrobić np. z koniunkcją. Jeżeli dodamy taki warunek, to funktor Tonk nie będzie funktorem posiadającym znaczenie, ponieważ nie można podać dla niego tabel prawdziwościowych.

To rozwiązanie nie pomoże nam niestety we wszystkich kontekstach. Nie wszystkie wyrażenia uznawane za sensowne są spójnikami ekstensjonalnymi. Przykładowo, wyrażenia modalne takie jak jest możliwe, że, nie są ekstensjonalne. Co więcej, istnieją teorie matematyczne, takie jak teoria mnogości, gdzie terminy pierwotne nie mają semantyki niezależnej od aparatu pojęciowego ich samych - swoje główne pojęcia wprowadzają aksjomatycznie.

Drugi pomysł jest trochę bardziej złożony. Zaczniemy od definicji konserwatywnego rozszerzenia. Załóżmy, że pracujemy w logice L. Rozszerzamy jej język o nowy spójnik, co daje nam nową logikę L*. Powiemy, że L* jest konserwatywnym rozszerzeniem L, wtedy i tylko wtedy, gdy każde poprawne wnioskowanie w L*, które nie używa nowego spójnika, jest również poprawne w L. Intuicyjnie, konserwatywne rozszerzenie nie zmienia poprawności wnioskowań w starym języku. Co ważne, takie rozszerzenie zachowuje niesprzeczność logiki. Czy możemy zatem wymagać, aby syntaktyczne rozszerzenia były konserwatywne?

Niedawno, Button zdefiniował funktor, którego można użyć, żeby pokazać, że dodawanie spójników poprzez podanie ich charakteryzacji semantycznej jest również problematyczne. Podał on tabele prawdziwościowe dla wymyślonego spójnika Knot i pokazał, że rozszerzenie języka o ten spójnik sprawia, że logika traci niektóre ważne własności (przykładowo, logicznie równoważne formuły nie mogą być podstawiane za siebie same w poprawnych wnioskowaniach). Button twierdzi, że Knot nie posiada syntaktycznej charakteryzacji. Co więcej, problem z Knot jest inny niż z Tonk. Nie można powiedzieć, że Knot nie posiada znaczenia bo rozszerzenie powstające w wyniku jego dodania nie jest konserwatywne. Otóż, podanie tabel prawdziwościowych dla nowego spójnika gwarantuje, że to rozszerzenie jest konserwatywne.

I tutaj czytelnika zostawiamy - niebawem w kolejnym poście opiszemy właściwą treść artykułu Pauli.

Paweł Pawłowski, Rafał Urbaniak, Weronika Majek, Małgorzata Stefaniak